Rectas notables de un triángulo:


MEDIATRICES: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita.

BISECTRICES: se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha circunferencia se llama Circunferencia Inscrita.

ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Podemos ver en el dibujo que si trazamos por cada vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo.

MEDIANAS: se llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el Baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado.

Consecuencias de estas construcciones:

CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA: el incentro de un triángulo es el único punto interior que equidista de las rectas de los lados, pero existen también puntos exteriores que tienen la misma propiedad y se llaman Exincentros. Como podemos ver en la construcción, los lados del triángulo formado por los exincentros (líneas naranjas) son, pues, las bisectrices exteriores del triángulo dado, y las bisectrices interiores de éste son las alturas de aquel.

TRIÁNGULO ÓRTICO: recíprocamente, las alturas de todo triángulo (acutángulo) son bisectrices interiores del triángulo cuyos vértices son los pies de sus alturas. Este triángulo se llama Triángulo Órtico. Como consecuencia se desprende que los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico y que los vértices de un triángulo son los exicentros de su triángulo órtico.

Circunferencia de Feuerbach:

Dado un triángulo cualquiera, no rectángulo, aplicando las propiedades del triángulo órtico se obtiene que la circunferencia que pasa por los pies de las alturas de un triángulo contiene los puntos medios de sus lados, así como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada vértice y el ortocentro. Esta circunferencia se llama Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach, también de Euler.

Recta de Euler:

El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler.

Actividades:

1.- Actividades que debes realizar: http://www.scribd.com/doc/30652134

2.- Dibuja un triángulo cualquiera. Encuentra sus mediatrices, bisectrices, alturas y medianas.

3.- Busca el Circuncentro, Incentro, Ortocentro y Baricentro.

4.- Encuentra la Recta de Euler.

5.- El siguiente fichero se ha obtenido de la página de Geogebra y contiene una explicación bastante adecuada de lo explicado anteriormente. Sirve como complemento a lo explicado anteriormente. Compáralo con los anteriores.